不会，也不需要续签书面劳动合同，原劳动合同自动顺延到哺乳期结束，也就是孩子1周岁;
所以该公司不能以产假期间劳动合同到期为由终止劳动合同，并且社会保险应该继续缴纳，生育保险是可以报销的。
《劳动合同法》第四十五条劳动合同期满，有本法第四十二条规定情形之一的，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。
但是，本法第四十二条第二项规定丧失或者部分丧失劳动能力劳动者的劳动合同的终止，按照国家有关工伤保险的规定执行。
第四十二条劳动者有下列情形之一的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同:
(一)从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或者医学观察期间的;
(二)在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的;
(三)患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的;
(四)女职工在孕期、产期、哺乳期的;
(五)在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的;
(六)法律、行政法规规定的其他情形。
二、产假待遇
第一，保胎假，工资按照病假发保胎假是由医生开证明，所以按病假待遇发放工资。
第二，产前假，工资按八成发。
怀孕7个月以上，如工作许可，经本人申请，单位批准，可请产前假两个半月。
部分属于地方法规规定必须给假的情况，单位应批准其休假，工资按照员工以往每月实发工资标准的八成发。
第三，产假，生育津贴在实行生育保险社会统筹的地区，支付标准按本企业上年度职工月平均工资的标准支付;
在没有开展生育保险社会统筹的地区，生育津贴由本企业或单位支付，标准为女职工生育之前的基本工资和物价补贴。
根据相关的法律规定，女员工在生育期劳动合同如果到期的话，那么用人单位是不能够终止劳动合同的，需要自动续签劳动合同到哺乳期结束，如果在此期间终止劳动合同，员工有权要求用人单位继续履行合同或者是作出经济赔偿。
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